如何读懂指数增长的强大威力？从棋盘麦粒传说看懂等比数列与梅森数
中科院物理所 · 科学与科普
遇见数学 2026-09-05 13:44 北京 以下文章来源于：遇见数学 遇见数学 拨开知识的层层密林，探寻美妙数学中的趣味。 在这里遇见数学，遇见更精彩的自己！ 思考一个问题：如果有两个选择，其一是立即拿走 100 万元现金；其二是第 1 天只能拿到 1 分钱，第 2 天能拿到 2 分，第 3 天能拿到 4 分，就这样接连的 27 天里每天都能拿走前一天的两倍。 该怎么选？ 先别急着回答，不妨动手算下第二种选择：到第 30 天，这枚最初微不足道的 1 分钱硬币，究竟翻滚成了多大的数字。 分 分 万 元 从 1 分钱到 536 万元，这样的增长速度，是不是超出了你的直觉？ 其实早在千百年前，古人就已经用一张 64 格的棋盘与几捧麦粒，记录下了人类最早领教指数威力的时刻，这就是数学上的 小麦与棋盘问题（Wheat and Chessboard Problem） 。 unset unset 古老的算术陷阱 unset unset 在流传最广的传说中，古印度学者塞萨（Sessa）发明了国际象棋的雏形，并将其献给了国王。国王许诺要啥给啥，塞萨只提出了一个看似卑微的请求：在 共 64 格的棋盘上赐予麦粒，第 1 格放 1 粒，第 2 格放 2 粒，第 3 格放 4 粒，此后每一格都比前一格翻一倍，直至填满整张棋盘。 在这个棋盘上，有五个格子摆有米粒(图自维基, 作者McGeddon) 国王哑然失笑，欣然允诺。但国库总管彻夜核算后却报告：即便倾尽整个王国的粮仓，即便全国土地翻耕播种数百年，也根本凑不齐这笔赏赐。 这则传说并非全然虚构。阿拉伯史学家伊本・赫利坎（Ibn Khallikan，1211—1282 年）在 1256 年修成传记体巨著《名人殁年录》（Wafayat al‑Aʿyān），书中留下了现存最早关于这一故事的明确记载。 更早的 10 世纪，历史学家马苏第（al‑Masudi）也曾记录，古印度数学家习惯借助棋盘方格来演算成倍递增的数列。 英国东方学家麦克唐奈（A. A. Macdonnell）在考证该母题时发现了一条有趣的词源学线索：阿拉伯语中用来指代棋盘方格的词汇 beit（原意为“房屋”或“隔间”），在古印度早期数学文献中对应的梵语是 koṣṭhāgāra——其字面本义正是粮仓。 早在公元 5 世纪，古印度天文学家阿耶波多（Āryabhaṭha，生于公元 476 年）就展现出了对超大数量级级数运算的非凡造诣。 在古代东方数学家眼中，这张纵横交错的木质棋盘从来不只是一方对弈的战场，它本身就是一个被抽象化的、足以吞噬整个物理宇宙的“数学怪兽”。 unset unset 算出麦粒的总数 unset unset 想要算出这 64 格麦粒的总量，需要用到一点代数技巧。设麦粒总数为 （下标 64 表示棋盘共有 64 格）： 这里的 是每一格的编号（从 0 开始计数，对应第 1 格到第 64 格），求和符号 表示把后面的式子按 从 0 到 63 依次取值再相加。 这种每一项都是前一项固定倍数的数列，数学上称为 等比数列 。有一种极为巧妙的化简方法，错位相减法可以解决此类问题。 不妨把问题推广到任意项数 ，设前 项的和为 ： 把等式两边同时乘以公比 2（即数列里“后一项与前一项的固定比值”），整个数列在指数上整体右移一位： 对比两式，除了首尾两项，中间的交叉项完全重合。两式相减，庞大的级数就发生了相消坍缩： 这正是等比数列求和通式的一个特例。对于首项为 、公比为 （ ）的有限等比数列，求和公式是： 这里要求 ，否则分母为零，公式本身会失效——不过那种情况下每一项都相等，总和直接用“项数 × 首项”就能算出，并不需要这条公式。 取首项 、公比 、项数 ，代入求和公式： 读作：1844 京 6744 兆 737 亿 955 万 1615 在数论里，形如 的整数被称为 梅森数（Mersenne Number） 。棋盘上的麦粒总数，恰好是第 64 个梅森数 。 unset unset 棋盘的后半段 unset unset 从 0 次到某一正整数次的 2 的幂之和，等于下一个 2 的幂减 1（即一个梅森数），图自维基，作者Cmglee 从前面的求和公式，可以提炼出一个值得注意点： 在以 2 为底的指数增长序列中，任何一步所产生的单项增量，都严格大于此前所有历史累加的总和（恰好多出 1）。 正是这一特性，让棋盘的前半段和后半段变成了两个完全不同的世界。我们以第 32 格为界，把整张棋盘一分为二。 前半盘（第 1 格至第 32 格）的麦粒总数是： 按估算一粒小麦的平均质量约为 65 毫克（ 千克）。把前半盘这 43 亿粒麦子换算成重量： 千 克 千 克 吨 279 吨粮食，四五节现代铁路货运车厢就能一次拉走。对古代任何一个中等规模的封建领主而言，这都