泛函分析（二）第一讲：弱收敛与极小值的存在性
集智俱乐部 · 科学与科普
助教团队 2026-09-06 14:00 北京 集智学园联合东京都市大学贾伊阳老师共同开设「面向应用的泛函分析」第二期课程。 导语 集智学园联合东京都市大学贾伊阳老师共同开设 「面向应用的泛函分析」第二期课程 。本期课程将在函数空间、Hilbert 空间与对偶空间等基础上，把第一期介绍的泛函分析直观概念，发展为可计算、能证明、有助于阅读和写作人工智能领域论文的研究工具。课程共十讲，围绕“算子基础与变分”、“连续深度模型”、“分布与生成模型”和“算子与智能体”四个板块展开。首先讨论解的存在性、稳定性与优化方法，随后进入 Neural ODE、DEQ 等连续深度模型，再从概率测度空间理解扩散模型与流匹配，最终延伸至神经算子、连续注意力、Bellman 算子及多智能体系统，建立泛函分析与现代人工智能之间的系统联系。 作为第二期第一讲，贾伊阳老师将以「弱收敛与极小值的存在性」为主题，从下确界、极小值与极小化序列出发，通过 ℓ² 标准基反例说明无限维空间中“有界不等于紧”，进而辨析强收敛与弱收敛，梳理对偶空间、反身性、弱紧性与弱闭性之间的关系。在此基础上，课程将严格陈述并证明变分法的直接法，说明强制性与弱下半连续性如何共同保证极小值的存在，并讨论唯一性条件。课程还将以无限维 Tikhonov 正则化和深度神经网络的架构正则化为例，分析病态逆问题、正规方程与高频噪声抑制，进一步理解网络宽度、深度和参数半径如何参与正则化，以及偏差原则如何保证有限步停止与噪声趋零时的收敛。正式分享将于 9 月 8 日（周二）19:00—20:30 进行。 课程简介 本讲首先从无限维优化中“有界序列未必存在强收敛子列”的困难出发，引入弱收敛、反身空间和弱紧性。随后严格介绍变分法直接法，说明强制性、反身性、约束集的弱闭性以及泛函的弱下半连续性如何共同保证极小值存在，并以无限维 Tikhonov 正则化和对角紧算子为例说明其具体应用。 在此基础上讲解论文 Deep Neural Network Yields Regularization for Ill-Posed Inverse Problems：将网络宽度、深度和参数范围视为可逐步扩张的正则化参数，介绍有界参数网络类的紧性、逼近误差、两空间结构、目标泛函、两种扩张算法及偏差原则。最后说明论文关于极小值存在、算法有限步停止和噪声趋零时解收敛的主要结论，并讨论这种架构正则化方法的意义与局限。 课程大纲 1、无限维优化与弱收敛 a. 下确界、极小值与极小化序列 b. 无限维空间中“有界不等于紧”： $$\ell^$$ 标准基反例 c. 强收敛与弱收敛的定义及区别 2、反身性与弱紧性 a. 对偶空间、双对偶空间与反身空间 b. Eberlein–Šmulian 定理：有界序列的弱收敛子列 c. 弱闭性：保证约束条件在取极限时不丢失 3、变分法的直接法 a. 强制性：保证极小化序列有界 b. 弱下半连续性：保证弱极限取得极小值 c. 直接法的严格陈述、证明与唯一性条件 4、无限维 Tikhonov 正则化 a. 对角紧算子与逆问题的病态性 b. Tikhonov 泛函的极小值存在性与唯一性 c. 正规方程、显式解与高频噪声抑制 5、深度神经网络的架构正则化 a. 病态算子方程与含噪观测模型 b. 有界参数网络类及其紧性 c. 网络逼近误差与“两空间”结构 d. 网络宽度、深度和参数半径的自适应扩张 e. 偏差原则、有限步停止与噪声趋零时的收敛 6、总结：从直接法到神经网络正则化 a. 直接法条件与论文假设的对应关系 b. 网络架构作为正则化参数的数学含义 c. 理论保证、数值结果及方法的局限性 主讲老师 贾伊阳，东京都市大学讲师，曾任日本女子大学、成蹊大学助理教授，研究方向涵盖计算复杂性、算法及范畴相关理论。集智学园《范畴论与机器学习》《面向应用的泛函分析》课程讲师。她的讲课风格细致入微、逻辑清晰，声音甜美，是集智社区中备受学员喜爱的人气讲师。 贾伊阳老师近期与耶鲁大学数字伦理中心创始主任、信息哲学家Luciano Floridi展开合作，共同运用范畴论等数学工具，系统探讨人工智能的边界与安全性问题。 双方围绕大语言模型的语义基础、AI系统的形式化建模以及智能体的因果推理等方向，合作发表了多篇学术论文，从数学哲学层面为理解AI的能力边界、幻觉来源与可靠性提供了新的分析框架。 贾老师也将在后续课程中介绍这一系列合作成果，欢迎关注。 面向对象 这门课适合两类人。 一类是从事机器学习、人工智能相关工作的人。 你们每天在用的那些模型：正则化、对抗训练、ISTA、Neural ODE、DEQ、Diffusion、FNO、强化学习，背后都站着同一套数学。这门课讲清楚这套数学，学完再看论文里的“紧性”“对偶”“半群”“谱”，就不再是